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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
10.
Marque la única respuesta correcta
b) El $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^{2}+a x+1}-1}{x}=2$ para
b) El $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^{2}+a x+1}-1}{x}=2$ para
$\square$ ningún valor de $a \quad \square a=4 \quad \square \quad a=0 \quad \square$ todo $a$
Respuesta
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^{2}+a x+1}-1}{x}$
Estamos frente a una indeterminación de tipo "cero sobre cero", sin importar el valor de $a$. Multiplicamos y dividimos por el conjugado:
$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^{2}+a x+1}-1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x^{2}+a x+1}+1}{\sqrt{x^{2}+a x+1}+1} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x^{2}+a x+1) - 1^2}{x(\sqrt{x^{2}+a x+1}+1)} $
Nos termina quedando...
$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+a x}{x(\sqrt{x^{2}+a x+1}+1)} $
Sacamos factor común $x$ arriba y la cancelamos con la $x$ de abajo:
$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+a}{\sqrt{x^{2}+a x+1}+1} $
Tomamos límite:
$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+a}{\sqrt{x^{2}+a x+1}+1} = \frac{a}{2}$
Y como queríamos que el resultado fuera $2$, igualamos ambos...
$ \frac{a}{2} = 2 $
$a = 4$
Por lo tanto, marcamos la respuesta:
$\blacksquare a = 4$