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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

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10. Marque la única respuesta correcta
b) El lim⁡x→0x2+ax+1−1x=2\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^{2}+a x+1}-1}{x}=2 para
□\square ningún valor de a□a=4□a=0□a \quad \square a=4 \quad \square \quad a=0 \quad \square todo aa

Respuesta

lim⁡x→0x2+ax+1−1x\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^{2}+a x+1}-1}{x}

Estamos frente a una indeterminación de tipo "cero sobre cero", sin importar el valor de aa. Multiplicamos y dividimos por el conjugado:

lim⁡x→0x2+ax+1−1x⋅x2+ax+1+1x2+ax+1+1=lim⁡x→0(x2+ax+1)−12x(x2+ax+1+1) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^{2}+a x+1}-1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x^{2}+a x+1}+1}{\sqrt{x^{2}+a x+1}+1} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x^{2}+a x+1) - 1^2}{x(\sqrt{x^{2}+a x+1}+1)}

Nos termina quedando...

lim⁡x→0x2+axx(x2+ax+1+1) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+a x}{x(\sqrt{x^{2}+a x+1}+1)}

Sacamos factor común xx arriba y la cancelamos con la xx de abajo:

lim⁡x→0x+ax2+ax+1+1 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+a}{\sqrt{x^{2}+a x+1}+1}

Tomamos límite:

lim⁡x→0x+ax2+ax+1+1=a2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+a}{\sqrt{x^{2}+a x+1}+1} = \frac{a}{2}

Y como queríamos que el resultado fuera 22, igualamos ambos...

a2=2 \frac{a}{2} = 2

a=4a = 4

Por lo tanto, marcamos la respuesta:

■a=4\blacksquare a = 4
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